α — przekątna bryły z płaszczyzną podstawy.
β — przekątna bryły z krawędzią boczną.
tg α =
d² = 2a² + H²
d² = 2a² + H²
TRENUJ PRZED MATURĄ Z DUCHEM ZA FREE
Testy maturalne z matematyki
poziom podstawowy
Mata nie musi być trudna i skomplikowana — da się prościej.
24 bezpłatne zestawy i 173 zadania z wyjaśnieniami.Powtarzaj krótką teorię, rozwiązuj testy działami i sprawdzaj wynik w procentach.Postępy zapisują się w tej przeglądarce — bez zakładania konta.
2 PRZYKAZANIA DUCHA
- 01Upraszczaj sobie życie
- 02Jak nie wiesz co zrobić, wyciągnij przed nawias
JEDENAŚCIE DZIAŁÓW DO ODKRYCIA
Testy z matematyki do matury — wybierz temat
01 / 01
Pierwiastki
Upraszczanie pierwiastków i wyciąganie czynnika przed pierwiastek. Przećwicz działania w teście z wyjaśnieniami.
01 / 02Potęgi
Potęgi o wykładniku ujemnym i ułamkowym, wspólna podstawa i prawa działań. Powtórz wzory i rozwiąż test.
01 / 03Logarytmy
Obliczanie logarytmów oraz łączenie ich za pomocą wzorów na sumę, różnicę i mnożenie przez liczbę.
01 / 04Procenty
Podwyżki, obniżki i obliczanie ceny początkowej. Naucz się zamieniać procenty na mnożniki i sprawdź wynik.
DZIAŁ 02Równania i nierówności
Równania liniowe, kwadratowe, iloczynowe, wymierne i z wartością bezwzględną. Rozwiązania krok po kroku i trzy testy po 7 zadań.
DZIAŁ 03Funkcje i wykresy
Dziedzina, zbiór wartości, odczytywanie i przesuwanie wykresów. Zobacz przykłady i sprawdź się w zadaniach.
DZIAŁ 04Funkcja liniowa
Wzór funkcji liniowej, miejsce zerowe oraz proste równoległe i prostopadłe. Teoria, cztery przykłady krok po kroku i dwa testy maturalne.
DZIAŁ 05Funkcja kwadratowa
Delta, miejsca zerowe, wierzchołek i postacie funkcji kwadratowej. Poznaj cztery przykłady krok po kroku i rozwiąż dwa testy.
DZIAŁ 06Ciągi
Ciąg arytmetyczny i geometryczny: wyrazy, różnica, iloraz i sumy. Przykłady z rozwiązaniami i dwa testy.
DZIAŁ 07Trygonometria
Sinus, cosinus i tangens w trójkącie prostokątnym. Poznaj zależności i przećwicz zadania maturalne.
DZIAŁ 08Geometria płaska
Pola figur, twierdzenie Pitagorasa, podobieństwo trójkątów i kąty w okręgu. Rysunki, teoria i test.
DZIAŁ 09Geometria analityczna
Odległość punktów, równanie prostej i okręgu oraz przecięcie prostych. Przykłady krok po kroku i testy.
DZIAŁ 10Stereometria
Graniastosłupy, ostrosłupy, walce i stożki. Ćwicz obliczanie objętości, pól powierzchni i kątów.
DZIAŁ 11Kombinatoryka i prawdopodobieństwo
Reguła mnożenia, losowania i rzuty kostkami. Policz możliwe wyniki, poznaj przykłady i rozwiąż dwa testy.
Jak ćwiczyć do matury z MATAUDUCHĄ?
Wybierz temat, który chcesz powtórzyć. Przypomnij sobie wzory i przeanalizuj przykłady, a potem zaznacz odpowiedzi w teście. Po sprawdzeniu zobaczysz wynik oraz wyjaśnienia do zadań. Wróć do tych, które sprawiły Ci trudność.
Czy testy są bezpłatne?
Tak. Teoria, testy, wyjaśnienia i zapis postępów są bezpłatne. Nie musisz zakładać konta.
Czy to pełne arkusze maturalne?
To zestawy zadań wyboru uporządkowane według tematów. Pomagają ćwiczyć umiejętności do matury podstawowej; nie są pełnymi arkuszami egzaminacyjnymi.
Gdzie zapisują się moje wyniki?
W przeglądarce na urządzeniu, na którym rozwiązujesz zadania. Nie przenoszą się automatycznie na inny komputer lub telefon. Wyczyszczenie danych witryny może usunąć zapisane postępy.
DZIAŁ 10
Stereometria.
Graniastosłupy, ostrosłupy, walce i stożki. Ćwicz obliczanie objętości, pól powierzchni i kątów. Przygotowanie do matury podstawowej z matematyki — bezpłatnie, bez konta.
01 / ZROZUM I ZOBACZ
Stereometria — prosto do rzeczy
Geometria przestrzenna. Rozpoznaj podstawę, zaznacz wysokość i znajdź trójkąt prostokątny. Potem wybierz wzór.
1. Graniastosłupy
W graniastosłupie prawidłowym podstawa jest wielokątem foremnym, a krawędź boczna jest wysokością H.
Prawidłowy czworokątny → w podstawie kwadrat
V = Pp · H
V = a² · H
V = a² · H
a — krawędź podstawy
H — wysokość
d — przekątna bryły
Pc = 2a² + 4aH
Prawidłowy trójkątny → w podstawie trójkąt równoboczny
V = Pp · H
V = · H
V = · H
Pc = 2Pp + 3aH
Pp to pole podstawy. Pc to pole wszystkich ścian, czyli pole powierzchni całkowitej.
Przede wszystkim kąty
Najpierw znajdź trójkąt prostokątny. Kąt prostej z płaszczyzną mierzymy między prostą a jej rzutem prostokątnym na tę płaszczyznę.
α — przekątna bryły z krawędzią podstawy.
β — przekątna bryły z zaznaczoną ścianą boczną. Jej rzut to przekątna tej ściany.
Rysunki dotyczą graniastosłupa prostego o podstawie kwadratu. Dla innych podstaw najpierw policz potrzebny odcinek w podstawie.
2. Ostrosłupy
W ostrosłupie prawidłowym wysokość spada na środek podstawy O. Nie myl wysokości H z krawędzią boczną ani wysokością ściany bocznej.
Podstawa: kwadrat
V = a²H
Od O do wierzchołka: .
Od O do środka boku: a/2.
Podstawa: trójkąt równoboczny
V = · · H
Od O do wierzchołka: .
Od O do środka boku: .
α — kąt krawędzi bocznej z płaszczyzną podstawy.
β — kąt ściany bocznej z płaszczyzną podstawy. Patrz na przekrój przez wysokość bryły i środek boku podstawy.
V = Pp · H
Pc = Pp + Pb
Pc = Pp + Pb
Pb to suma pól trójkątnych ścian bocznych.
3. Bryły obrotowe
Walec
V = πr²H
Pc = 2πr² + 2πrH
Pc = 2πr² + 2πrH
Stożek
V = πr²H
Pc = πr² + πrl
l² = r² + H²
Pc = πr² + πrl
l² = r² + H²
r — promień podstawy; H — wysokość; l — tworząca stożka.
Kąt rozwarcia stożka to kąt przy wierzchołku w przekroju osiowym. Wysokość dzieli go na pół. Dla rozwarcia 60° użyj kąta 30°.
Przydatne do zadań
Sześcian i prostopadłościan
V = a³
d ściany = a√2
d bryły = a√3
d ściany = a√2
d bryły = a√3
V prostopadłościanu = abc
Pc = 2(ab + ac + bc)
Pc = 2(ab + ac + bc)
Podstawa sześciokątna
Pp = 6 ·
Sześciokąt foremny podziel na 6 trójkątów równobocznych. W graniastosłupie prawidłowym jedna ściana boczna ma pole aH.
Ostrosłup o podstawie n-kąta
Ściany boczne: n
Wszystkie ściany: n + 1
Wierzchołki: n + 1
Krawędzie: 2n
02 / TWOJA KOLEJ
Sprawdź się
Zestaw 1 · 7 zadań
W każdym zadaniu wybierz jedną odpowiedź. Możesz ją zmieniać aż do sprawdzenia wyniku.
Zaznaczono 0 z 7 odpowiedziKażde zadanie to 1 punkt.
TWOJA PRACA ZOSTAJE Z TOBĄ
Moje postępy
0Ukończone próby
0Zadania z odpowiedzią
—Średni wynik testów
Ukończone różne zestawy: 0 z 24. Każda ponowna próba liczy się osobno. Średnia obejmuje wyniki wszystkich ukończonych prób; brak odpowiedzi w teście daje 0 punktów.
Zapis na tym urządzeniu jest włączony.
Ostatnie wyniki i informacje o zapisie
Jeszcze nie masz ukończonych testów. Wybierz temat i sprawdź swój pierwszy wynik.
Wyniki i rozpoczęte testy zapisują się tylko w tej przeglądarce, pod tym adresem strony. Nie potrzebujesz konta. Czyszczenie danych witryny usuwa zapis. W trybie prywatnym zapis może zniknąć po zamknięciu okna.
Usunąć wszystkie wyniki i odpowiedzi zapisane na tym urządzeniu? Tej operacji nie można cofnąć.