MATAUDUCHA

MATURA Z MATEMATYKI

Moje postępyMatura podstawowa / Matematyka
04. Funkcja liniowaTeoria i testy

DZIAŁ 04

Funkcja liniowa.

Wzór funkcji liniowej, miejsce zerowe oraz proste równoległe i prostopadłe. Teoria, cztery przykłady krok po kroku i dwa testy maturalne. Przygotowanie do matury podstawowej z matematyki — bezpłatnie, bez konta.

Krótka teoria6 zadańTwoje tempo

01 / ZROZUM I ZOBACZ

Funkcja liniowa — prosto do rzeczy

Funkcja liniowa ma wzór f(x) = ax + b. Jej wykres jest prostą. Najpierw popatrz na a, potem na b.

a mówi, w którą stronę

a > 0: rosnąca ↗
a < 0: malejąca ↘
a = 0: stała →

Czytaj wykres od lewej do prawej. Dla f(x) = 2x − 3 mamy a = 2, więc funkcja rośnie.

b pokazuje przecięcie z osią Y

P = (0; b)

Podstaw x = 0: zostaje f(0) = b. Dla f(x) = 2x − 3 punkt przecięcia to (0; −3).

Miejsce zerowe: podstaw y = 0

x₀ = −ba

Ten wzór działa dla a ≠ 0. Przykład: 2x − 3 = 0, więc x = 32. Gdy a = 0: dla b ≠ 0 brak miejsc zerowych, a dla b = 0 każda liczba jest miejscem zerowym.

PORUSZAJ WSPÓŁCZYNNIKAMI

Jedna prosta, dwa ustawienia

f(x) = 2x − 3
-6-5-4-3-2-1123456-6-5-4-3-2-1123456xy(0; -3)
Funkcja rosnąca. Przecięcie osi Y: (0; -3). Miejsce zerowe: 1.5.

Dwie proste — porównaj ich liczbę przed x

Równoległe

a₁ = a₂

Np. y = 3x − 5 i y = 3x + 4.

Prostopadłe

a₁ · a₂ = −1   lub   a₁ = −1a2

Np. y = 3x − 6 i y = −13x + 2.

Odwróć współczynnik i zamień jego znak.

Dla różnych prostych równoległych także b₁ ≠ b₂. Prosta pozioma i pionowa są prostopadłe — pionowej nie zapiszesz jako y = ax + b.

Punkt, kąt i przesunięcie — trzy przydatne ruchy

Punkt na prostej: wstaw jego x i y do wzoru. Dla y = 2x + b oraz (3; 8): 8 = 6 + b, więc b = 2.

Dwa punkty: a=y2−y1x2−x1 dla x₁ ≠ x₂.

Kąt nachylenia: tg α = a, gdzie α jest kątem od dodatniej półosi X do prostej, 0° ≤ α < 180°.

W prawo o 1: g(x) = f(x − 1). Dla f(x) = 5x dostajesz g(x) = 5x − 5.

Pobierz teorię w PDF ↗Przechodzę do zadań ↓

02 / ZOBACZ SPOSÓB

Przykładowe zadania

Spróbuj samodzielnie, a potem porównaj swoje rozwiązanie z przykładem.

1. Kiedy funkcja liniowa maleje?

Dla jakich wartości m funkcja y = (2m + 4)x − 8 jest malejąca?

1

Znajdź współczynnik przy x

We wzorze y = ax + b o kierunku wykresu decyduje a. Tutaj a = 2m + 4. Liczba −8 określa przecięcie z osią Y.

2

Zapisz warunek malejącej funkcji

a < 0 → 2m + 4 < 0

Wykres ma opadać, gdy idziemy w prawo.

3

Rozwiąż nierówność

2m < −4 → m < −2

Odpowiedź: m ∈ (−∞; −2). Dla m = −2 mamy a = 0, więc funkcja jest stała.

2. Kiedy proste są równoległe?

Dla jakiego m wykres funkcji y = (2m + 4)x − 8 jest równoległy do prostej y = 7x + 3?

1

Porównaj współczynniki kierunkowe

Proste równoległe mają takie samo a. Współczynniki to 2m + 4 oraz 7.

2

Ułóż i rozwiąż równanie

2m + 4 = 7 → 2m = 3 → m = 32
3

Sprawdź wynik

Dla m = 3/2 otrzymujemy y = 7x − 8. Obie proste mają a = 7, lecz różne b: −8 i 3. Są więc różnymi prostymi równoległymi.

3. Wzór funkcji z wykresu

Wyznacz wzór funkcji liniowej, której wykres przechodzi przez C(0; −4) i B(3; −6).

1

Odczytaj b z osi Y

Prosta przez C(0; −4) i B(3; −6).-5-4-3-2-112345-6-4-2246xyC(0; −4)B(3; −6)

Punkt C leży na osi Y. Stąd b = −4 i szukany wzór ma postać y = ax − 4.

2

Podstaw drugi punkt

−6 = 3a − 4 → −2 = 3a → a = −23

Podstawiamy x = 3 oraz y = −6 z punktu B.

3

Zapisz i sprawdź wzór

y = −23x − 4

Dla x = 0 wychodzi −4, a dla x = 3 wychodzi −6. Wykres maleje, bo a < 0.

4. Dopasuj układ równań do wykresu

Który układ opisuje dwie proste pokazane w pierwszym kroku?

1

Przyjrzyj się wykresowi

Dwie rosnące proste równoległe. Przecięcia z osią Y: 2 i −4.-5-4-3-2-112345-6-4-2246xy2−4

A: y = x + 2 oraz y = x − 2
B: y = −x + 2 oraz y = −x − 4
C: y = x + 2 oraz y = x − 4
D: y = x + 2 oraz y = −x − 4

2

Sprawdź kierunek prostych

Obie proste rosną i są równoległe. W B obie maleją, a w D mają różne współczynniki kierunkowe. Te odpowiedzi odpadają.

3

Odczytaj przecięcia z osią Y

Wykresy przecinają oś Y na wysokościach 2 i −4. Odpowiedź A odpada, bo ma b = −2 zamiast −4.

C: y = x + 2 oraz y = x − 4

Proste nie mają punktu wspólnego — ten układ nie ma rozwiązań.

Przechodzę do testu ↓

02 / TWOJA KOLEJ

Sprawdź się

↑ Wróć do teorii

W każdym zadaniu wybierz jedną odpowiedź. Możesz ją zmieniać aż do sprawdzenia wyniku.

Zaznaczono 0 z 6 odpowiedziKażde zadanie to 1 punkt.
01Zadanie 10–1 pktNa rysunku przedstawiono dwie proste równoległe. Który układ równań opisuje ten rysunek?
-6-5-4-3-2-1123456-6-5-4-3-2-1123456xy
02Zadanie 20–1 pktFunkcja f(x) = (−2k + 3)x + k − 1 jest malejąca dla każdego k z przedziału
03Zadanie 30–1 pktFunkcje f(x) = 3x + 6 i g(x) = ax + 7 mają to samo miejsce zerowe. Współczynnik a jest równy
04Zadanie 40–1 pktLiczba 2 jest miejscem zerowym f(x) = (3 − m)x + 4. Liczba m jest równa
05Zadanie 50–1 pktMiejsce zerowe funkcji f(x) = 12 x − k jest większe od 2. Do którego przedziału należy k?
06Zadanie 60–1 pktWykres f(x) = 5x przesunięto o jedną jednostkę w prawo. Otrzymana funkcja g ma wzór

Wszystko gotowe?

Wynik obejmuje wszystkie zadania (6). Brak odpowiedzi oznacza 0 punktów za zadanie.

↑ Wróć do teorii

TWOJA PRACA ZOSTAJE Z TOBĄ

Moje postępy

0Ukończone próby
0Zadania z odpowiedzią
—Średni wynik testów

Ukończone różne zestawy: 0 z 24. Każda ponowna próba liczy się osobno. Średnia obejmuje wyniki wszystkich ukończonych prób; brak odpowiedzi w teście daje 0 punktów.

Zapis na tym urządzeniu jest włączony.

Ostatnie wyniki i informacje o zapisie

Jeszcze nie masz ukończonych testów. Wybierz temat i sprawdź swój pierwszy wynik.

Wyniki i rozpoczęte testy zapisują się tylko w tej przeglądarce, pod tym adresem strony. Nie potrzebujesz konta. Czyszczenie danych witryny usuwa zapis. W trybie prywatnym zapis może zniknąć po zamknięciu okna.