MATAUDUCHA

MATURA Z MATEMATYKI

Moje postępyMatura podstawowa / Matematyka
06. CiągiTeoria i testy

DZIAŁ 06

Ciągi.

Ciąg arytmetyczny i geometryczny: wyrazy, różnica, iloraz i sumy. Przykłady z rozwiązaniami i dwa testy. Przygotowanie do matury podstawowej z matematyki — bezpłatnie, bez konta.

Krótka teoria7 zadańTwoje tempo

01 / ZROZUM I ZOBACZ

Ciągi — prosto do rzeczy

Ciąg to liczby ustawione w kolejności. n to numer wyrazu, a aₙ to jego wartość. Tutaj zaczynamy od n = 1. W odróżnieniu od funkcji na całej osi wybieramy tylko numery 1, 2, 3, …

Zwykły ciąg — podstaw numer

aₙ = 3·n−2n+1

Czwarty wyraz: a4=3·4−24+1=105=2. Nie potrzeba specjalnego wzoru — po prostu wstaw 4 zamiast n.

Arytmetyczny — dodajesz r

2, 5, 8, 11, 14, …

Stała różnica: r = 3. Jeśli r > 0, ciąg rośnie; jeśli r < 0, maleje; przy r = 0 jest stały.

Geometryczny — mnożysz przez q

2, 6, 18, 54, …

Stały iloraz: q = 3. Zawsze mnożysz poprzedni wyraz przez tę samą liczbę.

Arytmetyczny — trzy wzory

aₙ = a₁ + (n − 1)r

Na przykład a₇ = a₁ + 6r. Od pierwszego do siódmego wyrazu wykonujesz 6 kroków.

Sn=a1+an2·n

Suma = średnia pierwszego i ostatniego wyrazu × liczba wyrazów. Dla 2, 5, 8, 11, 14: S₅ = 8 · 5 = 40.

an=an−1+an+12

Środkowy wyraz jest średnią sąsiadów (n ≥ 2). Przykład (2x − 5, x + 3, 2x + 1): 2(x + 3) = 4x − 4, więc x = 5.

Geometryczny — trzy wzory

an=a1·qn−1

Na przykład a₇ = a₁ · q⁶.

Sn=a1·1−qn1−q

Wzór na sumę działa dla q ≠ 1. Przy q = 1 wszystkie wyrazy są takie same: Sₙ = n · a₁. Dla 2, 6, 18, 54 suma S₄ = 80.

an2=an−1·an+1

Kwadrat środkowego wyrazu to iloczyn sąsiadów (n ≥ 2). Przy sprawdzaniu trzech liczb zwróć uwagę na zera: sam ten warunek nie zawsze wystarcza. Najpewniej sprawdzić, czy istnieje wspólny mnożnik q.

DODAWANIE CZY MNOŻENIE?

Zobacz pierwsze wyrazy

a₁2
a₂5
a₃8
a₄11
a₅14

Pierwszy wyraz w obu przykładach wynosi 2. Zwróć uwagę, jak szybko rośnie ciąg geometryczny.

Gdy wyraz zależy od poprzedniego

Rekurencja mówi, jak obliczyć następny wyraz. Przy a₁ = 2 i aₙ₊₁ = 2aₙ + 1: a₂ = 5, a₃ = 11. Licz po kolei.

Nie każdy ciąg jest arytmetyczny lub geometryczny. Najpierw sprawdź różnice albo ilorazy kolejnych wyrazów (ilorazy tylko przy niezerowym mianowniku).

Symetryczne iloczyny: w ciągu geometrycznym a₂ · a₇ = a₃ · a₆, bo obie pary indeksów mają tę samą sumę.

Pobierz teorię w PDF ↗Przechodzę do zadań ↓

02 / ZOBACZ SPOSÓB

Przykładowe zadania

Spróbuj samodzielnie, a potem porównaj swoje rozwiązanie z przykładem.

1. Wyraz ciągu arytmetycznego

Dany jest ciąg arytmetyczny, w którym a₁ = 5 i a₈ = −10. Oblicz a₂₂.

1

Rozpisz ósmy wyraz

aₙ = a₁ + (n − 1)r
a₈ = a₁ + 7r
−10 = a₁ + 7r
2

Wstaw a₁ = 5 i oblicz różnicę

−10 = 5 + 7r
−15 = 7r
r = −157
3

Oblicz dwudziesty drugi wyraz

a₂₂ = a₁ + 21r
a₂₂ = 5 + 21 · (−157) = 5 − 45 = −40
4

Odpowiedź

a₂₂ = −40

Od pierwszego do dwudziestego drugiego wyrazu wykonujesz 21 kroków o różnicę r.

2. Trzy wyrazy ciągu arytmetycznego

Trzywyrazowy ciąg (2m + 11; m² + 3; 5 − m) jest arytmetyczny i malejący. Wyznacz m.

1

Środkowy wyraz jest średnią sąsiadów

a₂ = a₁ + a₃2
m² + 3 = 2m + 11 + 5 − m2
2

Pomnóż obie strony przez 2 i uporządkuj

2m² + 6 = 2m + 11 + 5 − m
2m² − m − 10 = 0
3

Rozwiąż równanie kwadratowe

Δ = (−1)² − 4 · 2 · (−10) = 81
m₁ = 1 − 94 = −2
m₂ = 1 + 94 = 52
4

Sprawdź warunek: ciąg ma być malejący

m = −2 → (7; 7; 7)
m = 52 → (16; 374; 52)

Pierwszy ciąg jest stały, więc odpada. Drugi jest malejący: 16 > 374 > 52.

5

Odpowiedź

m = 52

Samo rozwiązanie równania nie wystarcza — sprawdź jeszcze warunek z treści.

3. Trzy wyrazy ciągu geometrycznego

Trzywyrazowy ciąg (m − 3; m; 2m) jest geometryczny i rosnący. Wyznacz m.

1

Kwadrat środkowego wyrazu to iloczyn sąsiadów

a₂² = a₁ · a₃
m² = (m − 3) · 2m
2

Wymnóż i przenieś wszystko na jedną stronę

m² = 2m² − 6m
−m² + 6m = 0
3

Wyciągnij m przed nawias

m(−m + 6) = 0
m = 0 lub m = 6

Iloczyn jest równy zero, gdy przynajmniej jeden czynnik jest zerem.

4

Sprawdź, czy ciąg jest rosnący

m = 0 → (−3; 0; 0)
m = 6 → (3; 6; 12)

Pierwszy nie jest rosnący, bo dwa ostatnie wyrazy są równe. Drugi jest rosnący i geometryczny z ilorazem q = 2.

5

Odpowiedź

m = 6
Przechodzę do testu ↓

02 / TWOJA KOLEJ

Sprawdź się

↑ Wróć do teorii

W każdym zadaniu wybierz jedną odpowiedź. Możesz ją zmieniać aż do sprawdzenia wyniku.

Zaznaczono 0 z 7 odpowiedziKażde zadanie to 1 punkt.
01Zadanie 10–1 pktCiąg aₙ = 3n² − 3n jest określony dla n ≥ 1. Suma trzech początkowych wyrazów S₃ wynosi
02Zadanie 20–1 pktCiąg aₙ = 3n² − 3n, n ≥ 1.
  1. Ciąg jest arytmetyczny.
  2. Wszystkie wyrazy są liczbami parzystymi.
Wybierz ocenę obu zdań (P — prawda, F — fałsz).
03Zadanie 30–1 pktW ciągu arytmetycznym a₁ = 52 i a₂₅ = 2. Różnica r wynosi
04Zadanie 40–1 pktW ciągu arytmetycznym a₁ = 52 i a₂₅ = 2. Suma S₂₅ wynosi
05Zadanie 50–1 pktTrzywyrazowy ciąg (4, m, m − 1) jest geometryczny dla m równego
06Zadanie 60–1 pktW ciągu arytmetycznym a₁ = 1 i a₅ = 17. Dziewiąty wyraz wynosi
07Zadanie 70–1 pktW ciągu geometrycznym a₃ · a₆ = 18. Iloczyn a₂ · a₇ wynosi

Wszystko gotowe?

Wynik obejmuje wszystkie zadania (7). Brak odpowiedzi oznacza 0 punktów za zadanie.

↑ Wróć do teorii

TWOJA PRACA ZOSTAJE Z TOBĄ

Moje postępy

0Ukończone próby
0Zadania z odpowiedzią
—Średni wynik testów

Ukończone różne zestawy: 0 z 24. Każda ponowna próba liczy się osobno. Średnia obejmuje wyniki wszystkich ukończonych prób; brak odpowiedzi w teście daje 0 punktów.

Zapis na tym urządzeniu jest włączony.

Ostatnie wyniki i informacje o zapisie

Jeszcze nie masz ukończonych testów. Wybierz temat i sprawdź swój pierwszy wynik.

Wyniki i rozpoczęte testy zapisują się tylko w tej przeglądarce, pod tym adresem strony. Nie potrzebujesz konta. Czyszczenie danych witryny usuwa zapis. W trybie prywatnym zapis może zniknąć po zamknięciu okna.