Przykład 1. Znasz oba końce
xₛ = =
yₛ = =
yₛ = =
S = (; )
TRENUJ PRZED MATURĄ Z DUCHEM ZA FREE
Testy maturalne z matematyki
poziom podstawowy
Mata nie musi być trudna i skomplikowana — da się prościej.
24 bezpłatne zestawy i 173 zadania z wyjaśnieniami.Powtarzaj krótką teorię, rozwiązuj testy działami i sprawdzaj wynik w procentach.Postępy zapisują się w tej przeglądarce — bez zakładania konta.
2 PRZYKAZANIA DUCHA
- 01Upraszczaj sobie życie
- 02Jak nie wiesz co zrobić, wyciągnij przed nawias
JEDENAŚCIE DZIAŁÓW DO ODKRYCIA
Testy z matematyki do matury — wybierz temat
01 / 01
Pierwiastki
Upraszczanie pierwiastków i wyciąganie czynnika przed pierwiastek. Przećwicz działania w teście z wyjaśnieniami.
01 / 02Potęgi
Potęgi o wykładniku ujemnym i ułamkowym, wspólna podstawa i prawa działań. Powtórz wzory i rozwiąż test.
01 / 03Logarytmy
Obliczanie logarytmów oraz łączenie ich za pomocą wzorów na sumę, różnicę i mnożenie przez liczbę.
01 / 04Procenty
Podwyżki, obniżki i obliczanie ceny początkowej. Naucz się zamieniać procenty na mnożniki i sprawdź wynik.
DZIAŁ 02Równania i nierówności
Równania liniowe, kwadratowe, iloczynowe, wymierne i z wartością bezwzględną. Rozwiązania krok po kroku i trzy testy po 7 zadań.
DZIAŁ 03Funkcje i wykresy
Dziedzina, zbiór wartości, odczytywanie i przesuwanie wykresów. Zobacz przykłady i sprawdź się w zadaniach.
DZIAŁ 04Funkcja liniowa
Wzór funkcji liniowej, miejsce zerowe oraz proste równoległe i prostopadłe. Teoria, cztery przykłady krok po kroku i dwa testy maturalne.
DZIAŁ 05Funkcja kwadratowa
Delta, miejsca zerowe, wierzchołek i postacie funkcji kwadratowej. Poznaj cztery przykłady krok po kroku i rozwiąż dwa testy.
DZIAŁ 06Ciągi
Ciąg arytmetyczny i geometryczny: wyrazy, różnica, iloraz i sumy. Przykłady z rozwiązaniami i dwa testy.
DZIAŁ 07Trygonometria
Sinus, cosinus i tangens w trójkącie prostokątnym. Poznaj zależności i przećwicz zadania maturalne.
DZIAŁ 08Geometria płaska
Pola figur, twierdzenie Pitagorasa, podobieństwo trójkątów i kąty w okręgu. Rysunki, teoria i test.
DZIAŁ 09Geometria analityczna
Odległość punktów, równanie prostej i okręgu oraz przecięcie prostych. Przykłady krok po kroku i testy.
DZIAŁ 10Stereometria
Graniastosłupy, ostrosłupy, walce i stożki. Ćwicz obliczanie objętości, pól powierzchni i kątów.
DZIAŁ 11Kombinatoryka i prawdopodobieństwo
Reguła mnożenia, losowania i rzuty kostkami. Policz możliwe wyniki, poznaj przykłady i rozwiąż dwa testy.
Jak ćwiczyć do matury z MATAUDUCHĄ?
Wybierz temat, który chcesz powtórzyć. Przypomnij sobie wzory i przeanalizuj przykłady, a potem zaznacz odpowiedzi w teście. Po sprawdzeniu zobaczysz wynik oraz wyjaśnienia do zadań. Wróć do tych, które sprawiły Ci trudność.
Czy testy są bezpłatne?
Tak. Teoria, testy, wyjaśnienia i zapis postępów są bezpłatne. Nie musisz zakładać konta.
Czy to pełne arkusze maturalne?
To zestawy zadań wyboru uporządkowane według tematów. Pomagają ćwiczyć umiejętności do matury podstawowej; nie są pełnymi arkuszami egzaminacyjnymi.
Gdzie zapisują się moje wyniki?
W przeglądarce na urządzeniu, na którym rozwiązujesz zadania. Nie przenoszą się automatycznie na inny komputer lub telefon. Wyczyszczenie danych witryny może usunąć zapisane postępy.
DZIAŁ 09
Geometria analityczna.
Odległość punktów, równanie prostej i okręgu oraz przecięcie prostych. Przykłady krok po kroku i testy. Przygotowanie do matury podstawowej z matematyki — bezpłatnie, bez konta.
01 / ZROZUM I ZOBACZ
Geometria analityczna — prosto do rzeczy
Tu geometria spotyka liczby. Najpierw odczytaj współrzędne punktów. Potem wybierz jeden z trzech obiektów: odcinek, prostą albo okrąg.
1. Środek odcinka — średnia współrzędnych
xₛ =
yₛ =
yₛ =
Przykład 2. Znasz koniec i środek
−3 =
−6 = −2 + xB
xB = −4
−6 = −2 + xB
xB = −4
3 =
6 = 5 + yB
yB = 1
6 = 5 + yB
yB = 1
B = (−4; 1)
2. Długość odcinka — Pitagoras
|AB| =
A = (xa; ya), B = (xb; yb).
Przykład. A = (−2; 5), B = (1; 4)
|AB| =
|AB| = √(9 + 1) = √10
|AB| = √(9 + 1) = √10
3. Okrąg — środek i promień
(x − xₛ)² + (y − yₛ)² = r²
Środek to S = (xₛ; yₛ), a r to promień.
Przykład. S = (3; −5), r = 7
(x − 3)² + (y + 5)² = 49
Uwaga na znaki w nawiasach i kwadrat promienia.
OKRĄG POD KONTROLĄ
Przesuń środek i zmień promień
(x − 1)² + (y + 1)² = 4
Równoległa — zachowaj a
a₁ = a₂
y = 3x − 7
y = 3x + 5
y = 3x + 5
Obie proste mają a = 3, więc są równoległe. Różnią się wyrazem b.
Prostopadła — odwróć a i zmień znak
a₁ · a₂ = −1
y = 3x − 7
y = x + 5
y = x + 5
Iloczyn współczynników wynosi 3 · () = −1, więc proste są prostopadłe.
Dobra rada: środek to połowa drogi
Gdy znasz końce średnicy, policz środek odcinka, a potem odległość środka od jednego końca. W trójkącie prostokątnym środek okręgu opisanego leży w połowie przeciwprostokątnej.
Odbicie względem osi Oy: (x; y) → (−x; y). Względem Ox: (x; y) → (x; −y). Promień okręgu przy odbiciu się nie zmienia.
02 / ZOBACZ SPOSÓB
Przykładowe zadania
Spróbuj samodzielnie, a potem porównaj swoje rozwiązanie z przykładem.
Prosta przechodząca przez dwa punkty
Znajdź równanie prostej przechodzącej przez A = (1; 2) i B = (3; −4).
Wstaw współrzędne punktów za x i y
y = ax + b
2 = 1a + b
−4 = 3a + b
Pomnóż pierwsze równanie przez −1
−2 = −1a − b
−4 = 3a + b
Dodaj równania i oblicz a
−6 = 2a / : 2
a = −3
a = −3
Wstaw a do jednego równania i oblicz b
2 = −3 + b
b = 5
b = 5
Zapisz odpowiedź
y = −3x + 5
Sprawdzenie: dla x = 1 dostajesz y = 2, a dla x = 3 dostajesz y = −4.
Punkt przecięcia dwóch prostych
Znajdź punkt przecięcia prostych y = 2x − 5 i y = −3x + 10.
Zapisz układ i podstaw jeden wzór za y
y = 2x − 5
y = −3x + 10
W punkcie przecięcia obie wartości y są równe.
2x − 5 = −3x + 10
Rozwiąż równanie liniowe
2x + 3x = 10 + 5
5x = 15 / : 5
x = 3
5x = 15 / : 5
x = 3
Wstaw x do dowolnej prostej
y = 2 · 3 − 5 = 6 − 5 = 1
Zapisz punkt przecięcia
A = (3; 1)
Sprawdzenie w drugiej prostej: −3 · 3 + 10 = 1.
02 / TWOJA KOLEJ
Sprawdź się
Zestaw 1 · 7 zadań
W każdym zadaniu wybierz jedną odpowiedź. Możesz ją zmieniać aż do sprawdzenia wyniku.
Zaznaczono 0 z 7 odpowiedziKażde zadanie to 1 punkt.
TWOJA PRACA ZOSTAJE Z TOBĄ
Moje postępy
0Ukończone próby
0Zadania z odpowiedzią
—Średni wynik testów
Ukończone różne zestawy: 0 z 24. Każda ponowna próba liczy się osobno. Średnia obejmuje wyniki wszystkich ukończonych prób; brak odpowiedzi w teście daje 0 punktów.
Zapis na tym urządzeniu jest włączony.
Ostatnie wyniki i informacje o zapisie
Jeszcze nie masz ukończonych testów. Wybierz temat i sprawdź swój pierwszy wynik.
Wyniki i rozpoczęte testy zapisują się tylko w tej przeglądarce, pod tym adresem strony. Nie potrzebujesz konta. Czyszczenie danych witryny usuwa zapis. W trybie prywatnym zapis może zniknąć po zamknięciu okna.
Usunąć wszystkie wyniki i odpowiedzi zapisane na tym urządzeniu? Tej operacji nie można cofnąć.