MATAUDUCHA

MATURA Z MATEMATYKI

Moje postępyMatura podstawowa / Matematyka
05. Funkcja kwadratowaTeoria i testy

DZIAŁ 05

Funkcja kwadratowa.

Delta, miejsca zerowe, wierzchołek i postacie funkcji kwadratowej. Poznaj cztery przykłady krok po kroku i rozwiąż dwa testy. Przygotowanie do matury podstawowej z matematyki — bezpłatnie, bez konta.

Krótka teoria6 zadańTwoje tempo

01 / ZROZUM I ZOBACZ

Funkcja kwadratowa — prosto do rzeczy

Wykres funkcji kwadratowej to parabola. Współczynnik a ≠ 0 decyduje o ramionach: a > 0 — w górę, a < 0 — w dół.

Ogólna — do obliczeń

f(x) = ax² + bx + c

Stąd odczytasz a, b, c. Oblicz deltę Δ = b² − 4ac, gdy szukasz miejsc zerowych.

Iloczynowa — widać zera

f(x) = a(x − x₁)(x − x₂)

Przykład: −3(x − 1)(x + 3) ma miejsca zerowe 1 i −3. Ta postać istnieje w liczbach rzeczywistych, gdy Δ ≥ 0; przy Δ = 0 oba zera są równe.

Kanoniczna — widać wierzchołek

f(x) = a(x − p)² + q
W = (p; q)

Przykład: 2(x − 2)² − 4 ma wierzchołek (2; −4). Uwaga na znak w nawiasie: x + 3 oznacza p = −3.

Dobra rada: szukaj wierzchołka i rysuj

Wierzchołek pokazuje najmniejszą lub największą wartość oraz miejsce, w którym funkcja zmienia kierunek.

p = −b2a   q = −Δ4a

Możesz też policzyć q = f(p). Oś symetrii ma równanie x = p.

WIERZCHOŁEK POD KONTROLĄ

Zobacz ramiona, wierzchołek i wartości

f(x) = 2(x + 3)² − 1
-6-5-4-3-2-1123456-6-5-4-3-2-1123456xyW(-3; -1)
W = (-3; -1), oś symetrii x = -3.
Dziedzina: ℝ. Zbiór wartości: [-1; +∞).
Maleje na (−∞; -3], rośnie na [-3; +∞).
Najmniejsza wartość wynosi -1.

Miejsca zerowe — przyrównaj f(x) do 0

Δ > 0: dwa miejsca zerowe.

x1=−b−Δ2a
x2=−b+Δ2a

Δ = 0: jedno miejsce zerowe x₀ = p. Δ < 0: brak rzeczywistych miejsc zerowych.

Symetria i znaki — czytaj szkic

Równe wartości: argumenty jednakowo odległe od p dają ten sam wynik. Dla p = −3 argumenty −9 i 3 mają tę samą wartość.

Dwa miejsca zerowe: p=x1+x22. Znając jedno zero i p, drugie znajdziesz przez odbicie względem osi x = p.

f(x) ≥ 0: szukaj wykresu na osi X lub nad nią. Dla ramion w dół i zer −2, 4 otrzymasz [−2; 4].

Przesunięcie: f(x − 5) to 5 w prawo, f(x) + 5 to 5 w górę.

Pobierz teorię w PDF ↗Przechodzę do zadań ↓

02 / ZOBACZ SPOSÓB

Przykładowe zadania

Spróbuj samodzielnie, a potem porównaj swoje rozwiązanie z przykładem.

1. Wzór funkcji z wierzchołka i punktu

Wierzchołek paraboli to W(−3; 2). Do wykresu należy punkt A(1; 4). Wyznacz wzór funkcji.

1

Wybierz postać kanoniczną

f(x) = a(x − p)² + q

Wierzchołek to (p; q), więc p = −3, q = 2. Otrzymujemy f(x) = a(x + 3)² + 2.

2

Wykorzystaj punkt A

4 = a(1 + 3)² + 2 → 4 = 16a + 2
2 = 16a → a = 18
3

Zapisz wynik

f(x) = 18(x + 3)² + 2
Parabola z wierzchołkiem W(−3; 2), przechodząca przez A(1; 4).-8-7-6-5-4-3-2-1123-112345678xyW(−3; 2)A(1; 4)

Ramiona są skierowane w górę. Podstawienie x = 1 daje f(1) = 4.

2. Dwa argumenty, ta sama wartość

Wierzchołek paraboli to W(1; −5). Wyznacz k, dla którego f(5) = f(k).

1

Wyznacz oś symetrii

Przez wierzchołek przechodzi pionowa oś symetrii x = 1. Punkty paraboli po obu stronach tej osi, w tej samej odległości, mają tę samą wysokość.

2

Odmierz taką samą odległość

5 − 1 = 4 → k = 1 − 4 = −3
Przykładowa parabola (x − 1)² − 5. Argumenty −3 i 5 leżą w odległości 4 od osi x = 1.-5-4-3-2-11234567-6-4-22468101214xyW(1; −5)k = −3x = 5

To rysunek przykładowej paraboli o podanym wierzchołku. Rozumowanie działa dla każdej takiej paraboli.

3

Uwzględnij wszystkie argumenty

k = −3 lub k = 5. Równość f(5) = f(5) też jest prawdziwa. Jeśli szukamy innego argumentu niż 5, odpowiedzią jest wyłącznie k = −3.

3. Wyznacz współczynniki b i c

Funkcja f(x) = x² + bx + c ma wierzchołek W(3; −2). Oblicz b i c.

1

Zapisz postać kanoniczną

Współczynnik a = 1. Wierzchołek daje p = 3 i q = −2.

f(x) = (x − 3)² − 2
2

Rozwiń kwadrat

(x − 3)² − 2 = x² − 6x + 9 − 2 = x² − 6x + 7

Pamiętaj o środkowym wyrazie: (x − 3)² to x² − 6x + 9.

3

Porównaj współczynniki

b = −6, c = 7

Współczynnik przy x to −6, a wyraz wolny to 7.

4. Zbiór wartości i przedział wzrostu

Wyznacz zbiór wartości funkcji f(x) = x² − 8x + 17 oraz przedział, w którym funkcja rośnie.

1

Znajdź wierzchołek

x² − 8x + 17 = (x − 4)² + 1

Z postaci kanonicznej odczytujemy W(4; 1). Mamy a = 1 > 0, więc ramiona są skierowane w górę.

2

Odczytaj zbiór wartości

Parabola (x − 4)² + 1. Minimum 1 dla x = 4; funkcja rośnie dla x ≥ 4.12345678-112345678910xyW(4; 1)

Najniższa wysokość paraboli to 1. Funkcja osiąga każdą wartość większą lub równą 1.

Zbiór wartości: [1; +∞)
3

Odczytaj przedział wzrostu

Na prawo od wierzchołka wykres idzie w górę. Funkcja rośnie w przedziale [4; +∞), a maleje w (−∞; 4].

Nie pomyl współrzędnych: q = 1 wyznacza zbiór wartości, p = 4 wyznacza granicę przedziałów monotoniczności.

Przechodzę do testu ↓

02 / TWOJA KOLEJ

Sprawdź się

↑ Wróć do teorii

W każdym zadaniu wybierz jedną odpowiedź. Możesz ją zmieniać aż do sprawdzenia wyniku.

Zaznaczono 0 z 6 odpowiedziKażde zadanie to 1 punkt.
01Zadanie 10–1 pktParabola f ma wierzchołek W = (3; −2). Funkcja g(x) = f(x + 1) ma miejsce zerowe 0. Wybierz wzór f w postaci ogólnej.
02Zadanie 20–1 pktLiczba 2 jest miejscem zerowym funkcji f(x) = 2x² − kx + 6. Liczba k jest równa
03Zadanie 30–1 pktWierzchołek paraboli f to W = (−3; 7). Jeśli f(t) = f(−9) i t ≠ −9, to t wynosi
04Zadanie 40–1 pktWierzchołek paraboli f to (−3; 7). Funkcja g(x) = f(x − 5) ma wierzchołek
05Zadanie 50–1 pktDana jest funkcja f(x) = 2(x − 2)² + 4.
  1. Funkcja ma dwa rzeczywiste miejsca zerowe.
  2. Osią symetrii jest prosta x = 2.
Wybierz ocenę obu zdań (P — prawda, F — fałsz).
06Zadanie 60–1 pktFunkcja f(x) = 2(x − 2)² + 4 w postaci ogólnej ma wzór

Wszystko gotowe?

Wynik obejmuje wszystkie zadania (6). Brak odpowiedzi oznacza 0 punktów za zadanie.

↑ Wróć do teorii

TWOJA PRACA ZOSTAJE Z TOBĄ

Moje postępy

0Ukończone próby
0Zadania z odpowiedzią
—Średni wynik testów

Ukończone różne zestawy: 0 z 24. Każda ponowna próba liczy się osobno. Średnia obejmuje wyniki wszystkich ukończonych prób; brak odpowiedzi w teście daje 0 punktów.

Zapis na tym urządzeniu jest włączony.

Ostatnie wyniki i informacje o zapisie

Jeszcze nie masz ukończonych testów. Wybierz temat i sprawdź swój pierwszy wynik.

Wyniki i rozpoczęte testy zapisują się tylko w tej przeglądarce, pod tym adresem strony. Nie potrzebujesz konta. Czyszczenie danych witryny usuwa zapis. W trybie prywatnym zapis może zniknąć po zamknięciu okna.